"Линейные дифференциальные уравнения первого порядка"

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

,

  непрерывные функции от x.

Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций

и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид

или

.  (*)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

,

то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении  переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v - решение уравнения, то её подстановка в уравнение  даёт

.

Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.

Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т.е. y = uv. u и v уже нашли.

Дополнительные источники:

- Учебное пособие: "Задачник по высшей математике", издательство: ИНФРА-М, Авторы: Шипачев Виктор Семенович, 2020 год, данная тема "Линейные уравнения" находится на стр. 226  (ссылка на учебник: https://new.znanium.com/read?id=344429).

- http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinye-differentsialnye-uravneniya-pervogo-poryadka-i-uravnenie-bernulli

- https://function-x.ru/differential_equations4.html

- https://www.youtube.com/watch?v=dWADCRdUcg0&t=143s

Домашняя работа:

1. Сделать конспект по имеющемуся материалу на сайте, а так же изучить новый материал с примерами, которые вы можете найти в дополнительных источниках.
2. Повторить основные понятия о дифференциальных уравнениях.
3. Решить в тетради примеры на стр. 228 под № 43-50 из учебного пособия: "Задачник по высшей математике", ссылку на который вы можете взять в Дополнительных источниках.

   ---

   Отправляете фото или Word-файл с решенной задачей и картой звездного неба на электронный адрес lenr89@mail.ru, не забываем подписать группу и ФИО.