"Расчет цепи переменного тока с последовательным соединением элементов"

Общие сведения

Электромагнитный процесс в электрической цепи считается периодическим, если мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени Т. Время Т называется периодом.

Величина, обратная периоду (число периодов в единицу времени), называется частотой: f = 1\ T . Частота имеет размерность 1\ с^-1 , а единицей измерения частоты служит Герц (Гц).

Широкое применение в электротехнике нашли синусоидальные напряжения и токи:

u(t) =Um sin(ωt + ψu ), i(t) = Im sin(ωt + ψi ).

В этих выражениях:

- u(t) , i(t) – мгновенные значения,

- Um , Im – максимальные или амплитудные значения,

- ω = 2π /T = 2πf – угловая частота (скорость изменения аргумента), рад.\сек.

- u ψ , i ψ – начальные фазы,

- ωt + ψu , ωt + ψi – фазы, соответственно напряжения и тока.

Графики изменения u(t) , i(t) удобно представлять не в функции времени t, а в функции угловой величины ωt , пропорциональной t (рис.1)

Рисунок 1

Количество тепла, рассеиваемого на сопротивление R при протекании по нему тока, электромагнитная сила взаимодействия двух проводников с равными токами, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят по действующему значению за период. Действующее значение периодического тока, напряжения и ЭДС определяется по выражению

I = ; U = E = . √2≈1,41 

Для измерения действующих значений используются приборы электромагнитной, электродинамической и др. систем.

Среднее значение синусоидального тока определяется как среднее за половину периода

I_ср. =_m U_ср. =_m E_ср. =_m

Отношение амплитудного значения к действующему называется коэффициентом амплитуды kа, а отношение действующего значения к среднему– коэффициентом формы kф. Для синусоидальных величин, например, тока i(t) , эти коэффициенты равны: K_a =1,41; К_ф=1,11

Простейшие цепи – цепи, содержащие один элемент (рис.2)

Рисунок 2

На активном сопротивление R мгновенные значения напряжения и тока совпадают по фазе. Угол сдвига фаз φ = 0. (рис.3 а)

На индуктивности L мгновенное значение тока отстает от мгновенного значения напряжения на угол . Угол сдвига фаз φ = (рис.3 б)

На емкости С мгновенное значение напряжения отстает от мгновенного значения тока на угол . Угол сдвига фаз φ = (рис.3 в)

Рисунок 3

Решение типовых задач

Задача 1. Электрическая цепь, показанная на рис.  питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В.

Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ. Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.

Решение

1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи

• Индуктивное реактивное сопротивление

X_L = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10^-3 =8 Ом.

• Емкостное реактивное сопротивление

X_C = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10^-6) = 5 Ом.

• Реактивное и полное сопротивления всей цепи:

X = X_L - X_C = 8 – 5 =3 Ом;

  Ом.

2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи

• Ток в цепи

I = U / Z = 120 / 5 = 24 А

• Напряжения на участках:

U₁ = R I = 24∙4 = 96 В; U₂ = X_L I = 24∙8 = 192 В; U₃ = X_C I = 24∙5=120 В.

3. Вычисление мощностей

• Активная мощность

Р= R I² = U₁I = 2304 Вт

• Реактивные мощности:

Q_L = X_L I² = U₂ I = 4608 вар; Q_C = X_C I² = U₃ I = 2880 вар.

• Полная мощность цепи (единица измерения ВА)

Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ

Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.

P = 2304 Вт; Q_L = 4608 ВАр;

Q_C = 2880 вар.

.

Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (вар); (ВА), построим на основе выражения для полной мощности S² =P²+(Q_L-Q_C)²

Треугольник мощностей:

Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.

Векторная диаграмма тока и напряжения Треугольник сопротивлений

Задача 2. Катушка индуктивности подключена к сети с напряжением U = 100 В. Ваттметр показывает значение P_K = 600 Вт, амперметр: I = 10 А. Определить параметры катушки R_K, L_K.

Решение

1. Вычисление полного сопротивления катушки

Z_К = U / I = 100 / 10 = 10 Ом.

2. Вычисление активного сопротивления катушки R_К

Ваттметр измеряет активную мощность, которая в данной схеме потребляется активным сопротивлением R_К.

R_К = P_К / I² = 600 / 100 = 6 Ом.

3. Вычисление индуктивности катушки L_К

X_К = 2πf L_К; L_К = X_К / (2πf) = 8 / (2π×50) = 0,025 Гн.

Задачи для самостоятельного решения:

4.1. Напряжение на индуктивности L = 0,1 Гн в цепи синусоидального тока изменяется по закону uL = 141sin(1000t – 30град. ) Записать закон изменения тока на индуктивности.

4.2. Ток в емкости С = 0,1 мкФ равен i = 0,1sin(400t + π 3) А. Записать закон изменения напряжения на емкости.

4.3. На участке цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R = 160 Ом и емкостью С = 26, 54 мкФ мгновенное значение синусоидального тока i = 0,1sin 314t А.

Записать закон изменения напряжений на емкости и на всем участке цепи. Чему равны действующие значения этих величин?

4.4. Амплитудное значение напряжения переменного тока с периодом Т=2,23 мсек. Равно 220 В. Определить действующее значение напряжения и его частоту.

4.5. В цепь с напряжением 220 В включены реостат с сопротивлением R₁ = 5 Ом, катушка с сопротивлением R₂ =3 Ома и Х_L = 4 Ома и емкость с сопротивлением Х_с = 10 Ом. Определить ток в цепи.

4.6. К катушке с индуктивностью 10 мГн и сопротивлением R =4,7 Ом приложено напряжение 25 В при частоте 150 Гц. Определить ток катушки.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?

2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?

3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.

4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?

5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.

6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?

7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.

Отправляете файл с проделанной работой на электронный адрес lenr89@mail.ru, не забываем подписать группу и ФИО.